pondichery2008.g3
Faire pivoter le tétraèdre à la souris (boutons gauche et droit)
Pour zoomer, utiliser la molette.
Un clic droit affiche des options de visualisation.
Les points A, C et D sont libres dans le plan z = 0.
Exercice 3 (4 points)
Commun à tous les candidats
On considère un tétraèdre ABCD. On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes
[AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD].
On désigne par G l’isobarycentre des points A, B, C et D.
Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.
Dans la suite de l’exercice, on suppose que AB = CD, BC = AD et AC = BD.
(On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).
Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Préciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM.
En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même,
les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN)
sont orthogonales.
Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN).
Quelle est la valeur du produit scalaire
→
→
IJ
·
MN
?
En déduire que (IJ) est
orthogonale à la droite (AB).Montrer demême que (IJ) est orthogonale à la droite (CD).
Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative,
même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite
au tétraèdre ABCD ?
